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By Didier Müller, août 2010 www.apprendre-en-ligne.net

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Problème Soit f une fonction lisse dans l'intervalle [a, b]. Trouver la longueur L de la courbe y = f(x) de a à b. , [xn–1, xn] de largeur ∆x. On pose évidemment x0 = a et xn = b. , Pn. , n. Regardons un segment. 6  2 f  xk  – f  x k – 1  ⋅ xk – xk – 1  xk – xk – 1 D'après le théorème des accroissements finis, f  x k  – f  x k – 1 = f ' k  où xk–1 < ξk < xk x k – xk – 1 Par conséquent, L k = 1[ f '  k ]2⋅ x Donc, la longueur de la ligne polygonale est n L=∑  1[ f ' k ] ⋅ x 2 k=1 Didier Müller - LCP - 2010 Cahier Analyse CHAPITRE 8 60 Si nous augmentons maintenant le nombre de sous-intervalles de sorte que ∆x→0, alors la longueur de la courbe polygonale va approcher la longueur de la courbe y = f(x).

C. 1. Calculez la longueur de la courbe y= x 3 de x = 1 à x = 8. 2. Pourquoi ne peut-on pas utiliser telle quelle la formule pour calculer la longueur de cette courbe entre –1 et 8 ? Donnez un moyen de s'en sortir. d. Calculez la longueur de la courbe y=  1 – x 2 de x = 0 à x = 1. 4. Aire d'une surface de révolution Problème Soit f une fonction lisse et non négative sur l'intervalle [a, b]. Trouver l'aire de la surface générée par la révolution autour de l'axe Ox de la portion de courbe y = f(x) comprise entre x = a et x = b.

X dx c. ∫ 7sin 3x dx f. ∫ 3x dx 3 Intégration par substitution x 1 dx (aide : transformez cette fonction en somme de puissances de x). Cette importante méthode est couramment utilisée pour transformer un problème d'intégration compliqué en un problème plus simple. Elle peut se résumer ainsi : Pas 1. Poser u = g(x). Tout le problème est de bien choisir g(x) ! du = g '  x . Pas 2. Calculer dx Pas 3. Faire la substitution u = g(x), du = g'(x) dx. À partir d'ici, plus aucun x ne doit subsister dans l'intégrale.

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