Beispiele und Aufgaben zur Laplace-Transformation by Hans Josef Löhr PDF

By Hans Josef Löhr

ISBN-10: 3663001105

ISBN-13: 9783663001102

ISBN-10: 3663001113

ISBN-13: 9783663001119

Die Anwendung der Laplace-Transformation in den Naturwissenschaften und der Technik gewinnt ständig an Bedeutung. Dies führt zwangsläufig dazu, daß diese Methode in die Stoffpläne für Mathematik der meisten Fachrichtungen an Technischen Hochschulen und Fachhochschulen aufgenommen werden wird. Im Hinblick auf ihre Verwendung in anderen Fächern, erscheint es sinnvoll, mit dem Studium möglichst früh zu beginnen, spätestens jedoch im dritten Semester. Dies wiederum bedingt, daß nur Kenntnisse vorausgesetzt werden können, die im ersten und zweiten Semester vermittelt wurden. Unter diesem Gesichtspunkt ist dieses Arbeits- und übungsbuch entstanden. Es soll dem Studenten vom dritten Semester aufwärts ermöglichen, so weit in die Theorie und Praxis der Laplace-Transformation vorzudringen, daß er gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und Differentialgleichungssysteme, wie sie bei der Behandlung von Schwingungsproblemen auftreten, selbständig lösen kann. Darüberhinaus soll der Stu­ dent in die Lage versetzt werden, mit fortschreitender Kenntnis in der Mathematik, weiter­ führende Werke über die Theorie der Laplace-Transformation zu lesen. Das Buch ist folgendermaßen aufgebaut: Im ersten Kapitel werden in zahlreichen Beispielen Funktionen in den Bildraum transfor­ miert, um den Leser mit dem Umgang mit Laplace -Transformierten vertraut zu machen. Im zweiten Kapitel werden die Eigenschaften der Laplace-Transformation untersucht. Im dritten Kapitel wird die Laplace-Transformation zur Lösung von Differentialgleichun­ gen benutzt. Im vierten Kapitel steht die Anwendung auf technische Probleme im Vordergrund. Alle Beispiele im textual content sind ausflihrlich durchgerechnet. Am Schluß jeden Kapitels sind Aufgaben gestellt, deren Lösungen im Anhang angegeben werden, so daß der Leser über­ prüfen kann, ob er den Inhalt des Kapitels verstanden hat.

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4) die Laplace-Transformierte der verschobenen Einheitssprungfunktion u(t + a) für a > O. Diskutieren Sie das Ergebnis. l: {u (t)}. l:{1+[t]}. Lösung Die Funktion ist die um die Zahl a = 1 nach links verschobene Treppenfunktion [tl (Vergleichen Sie Beispiel 1-26). Es ist also 1 + [t] = [t + 1]. l: {[t]} = . L (f(t)} , wenn f(t) der Differenzengleichung genügt: f(t+1)=f(t)+1 ftir t>I, f( t) = 0 ftir 0< t ~ 1. b) Bestimmen Sie r 1 {F (s)} = f(t) mit Hilfe der Tabelle. L {I}. 4) verschwindet. L {f(t)} + +.

F fe-at f(t)} = F (s + a). 5) Beispiele y 2-21 Beweisen Sie den Dämpfungssatz. f fe-at f(t)} = Se-at f(t) e- st dt = o Sf(t) e- (s dt. o Schreiben wir fur einen Augenblick s + a = 00 + alt 0, so ist: 00 + a) o t dt = f f(t) e- at dt = F (0). f fe-at f(t)} = F(s + a). 5) und T5 die Laplace-Transformierte von f(t) = te-at. f{t}=l. s2 (a) I) Es wird nicht vorausgesetzt, daß a > 0 ist, obgleich nur in diesem Fall das Wort Dämpfung gerechtfertigt ist. Für a < 0 wäre das Wort Verstärkung angebracht. r.

Beispiel 1-30. Diese ist Null ftir t < a. Nach diesen Überlegungen können wir die oben gestellte Frage beantworten und den ersten Verschiebungssatz formulieren. Den Beweis überlassen wir wieder dem Leser als Beispiel. Erster Verschiebungssotz Es sei u(t - a) f(t - a) die aus u(t) f(t) durch Verschiebung um den Betrag a entstandene Funktion. e{f(t)}. 3) Beispiele ~ 2-9 Beweisen Sie den ersten Verschiebungssatz durch die Substitution t - a = r. e{f(t-a)}= (a) u(t-a) f(t-a) e- st dt. o Substituieren wir r = t - a, so werden die neuen Grenzen fur t = 0 r = - a und ftir t r = 00.

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by Edward
4.1

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