Max Cabanes's Dans les villages. La Jole, tome 1 PDF

By Max Cabanes

ISBN-10: 2731607955

ISBN-13: 9782731607956

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2||x||∞ , Ceci montre que ∆, qui déjà est linéaire, est continue, et que : |||∆||| 2 . • Considérons la suite réelle bornée x = (xn )n définie par : N et d(u n ,a) > ε . n Puisque K est compact, la suite (u σ(n) )n, à éléments dans K, admet au moins une valeur d’adhérence b dans K ; il existe donc un extractrice τ telle que u σ(τ(n)) −−−→ b . n∞ Comme : ∀n ∈ N , d(u σ(τ(n)) ,a) > ε, on obtient, en passant / b. à la limite d(b,a) ε, et nécessairement a = Ainsi, (u n )n admet au moins deux valeurs d’adhérence différentes, a et b, contradiction.

Soit x ∈ E (V ). Puisque x n’est pas valeur d’adhérence de (u n )n∈N , il existe ε > 0 tel que l’ensemble n ∈ N ; u n ∈ B(x ; ε) soit fini. Il est clair alors que, pour tout y ∈ B(x ; ε) , l’ensemble n ∈ N ; u n ∈ B y,ε − d(x,y) , est fini, car cet ensemble est inclus dans le précédent, donc y n’est pas valeur d’adhérence de (u n )n∈N , d’où y ∈ E (V ). Ceci montre : B(y ; ε) ⊂ E (V ), et donc dans E , V est fermé dans E . E (V ) est ouvert Ainsi, V est une partie non vide, fermée et bornée de l’evn E de dimension finie, donc V est une partie compacte non vide de E.

On a : 16. Ceci montre : ∀ (x,y) ∈ E, 1+1 1 2 n 2 , f n est continue sur [0; 1]. Il est clair que, pour tout n 1, on a donc, si (x,y) ∈ E : 3 1. x 2 + y2 . On a, pour tout (x,y) ∈ R2 : 4 x fn 2) Montrons que E est bornée, en utilisant les coordonnées polaires. En supposant ρ 1 1 + 2 n 1 x 2 1 1 + 2 n 1 est continue et {0} est fermé dans R, donc E = f −1 ({0}) est fermé dans R2 , comme image réciproque d’un fermé par une application continue. = 2(4x 3 − 3x 2 + 4y 2 ) 1 2 x 0 y f : R2 −→ R, (x,y) −→ x 2 (x − 1)(x − 3) + y 2 (y 2 − 4) Notons, pour (x,y) ∈ R2 : ρ = 2 , l’applica- tion f n : [0; 1] −→ R définie par : D’autre part : ∀n ∈ N , |xn+1 − xn | = 2, 16, 1+ 1 2 p 1 2 1+ 1 2 p donc E est bornée.

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Dans les villages. La Jole, tome 1 by Max Cabanes


by Jason
4.0

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